El problema de la duplicación del cubo

Hay tres problemas clásicos de matemáticas, muy famosos, que ocuparon a los griegos por muchos años y que no pudieron resolverse. No porque ellos no fuesen buenos matemáticos, sino porque carecían de las herramientas adecuadas para hacerlo o porque el reto era encontrar una solución sin ayuda de otras herramientas. 

Se trata de tres problemas que resistieron el embate de mentes brillantes durante 2000 años hasta que alguien pudo demostrar la imposibilidad de resolverlos. En los tres casos se trata de hallar con solo regla y compás la solución de cada uno de ellos.

El primer problema es conocido como “el problema de la cuadratura del círculo”, consistente en encontrar un cuadrado cuya área sea la misma de un círculo dado.

El segundo problema es conocido como “el problema de trisecar un ángulo”, consistente en construir un ángulo que mida un tercio de la medida de otro ángulo dado.

Y el tercer problema es el denominado “problema de la duplicación del cubo”, consistente en determinar las medidas de un cubo que tenga el doble del volumen de otro cubo dado.

Los tres problemas tendrían una solución trivial si no se exigiese que para resolverlos solo pueda usarse la regla y el compás; pero aún, si no fuese así, sus soluciones hubiesen tenido nuevos problemas para los griegos porque conducen a valores que los pitagóricos llamaban “inconmensurables” por tratarse de números irracionales, es decir números que no pueden ser expresados por medio de una fracción.

Aun cuando se cree que ya en el siglo VII a. C. los griegos habían descubierto magnitudes irracionales al comparar la diagonal y el lado de un cuadrado, por ejemplo, y hasta pudieron estar familiarizados con la extracción de raíces cuadradas y cúbicas, no consideraban el cero, tampoco reconocían números negativos ni habían desarrollado un sistema de símbolos algebraicos con variables y constantes literales. Por lo tanto eran la regla y el compás las únicas herramientas permitidas para dar solución a estos famosos problemas.

Detrás del problema de la duplicación del cubo, también conocido como el “Problema de Delos” o “Problema Délico” hay una historia fantástica. En efecto, su origen parece ser consecuencia de una epidemia. Hay un antiguo reporte de Tucídides, correspondiente a la Plaga de Atenas ocurrida entre 430 y 428 a.C. por la que murieron unas 100.000 personas, casi un tercio de la población. La magistral descripción, que incluye datos tan precisos como por ejemplo el registro de la muerte de 1050 de 4000 soldados en una expedición, a causa de la peste, es el primer reporte estadístico de muertes a causa de enfermedades infecciosas que han ocasionado una disminución importante e inesperada de poblaciones.

Una víctima de la llamada Plaga de Atenas fue Pericles. Una comisión de notables de la ciudad fue entonces a consultar el oráculo de Apolo en Delos para preguntar cómo se podría acabar con la terrible epidemia, a lo que el oráculo contestó que era necesario doblar el tamaño del altar dedicado a Apolo, pero éste tenía la forma de un cubo y ellos supusieron que era fácil cumplir, duplicando la longitud de sus aristas. Aun cuando lo que hicieron fue agrandar 8 veces el volumen del altar, la peste no cesó. Al ser evidente el error cometido y verse envueltos en el escándalo por ese vergonzoso error por el que no pudieron detener la peste, acudieron a los mejores matemáticos, pero nadie fue capaz de resolver el problema de duplicar el volumen del altar cúbico.

Entre los griegos que intentaron dar solución al problema de la duplicación del cubo se cuentan: Hipócrates de Chíos, Platón, Arquitas de Tarento, Menecmo, Eratóstenes, Diocles y Nicomedes. Y fue solo hasta 1837 cuando el matemático francés Pierre-Laurent Wantzel (1814 - 1848) demostró que el problema no tiene solución; es decir que con regla y compás es imposible obtener números irracionales, cuando se resolvió en forma definitiva este reto milenario.

Pero veamos de qué manera se duplica el cubo, sin regla y compás, lo cual es bastante sencillo, siempre y cuando escojamos el procedimiento correcto. Si el lado de cualquiera de las caras de un cubo mide L, es decir si las aristas miden L, entonces el volumen del cubo es L^3. El problema consiste entonces en encontrar la longitud X de las aristas de un cubo que tenga el doble del volumen; es decir de tal manera que 
X^3 = 2(L^3).
Se puede plantear la solución de dos formas: una difícil y una fácil. La difícil es llamando X = (L + a) para encontrar el valor de a sabiendo que:
(L + a)^3 = 2(L^3).  
Esto conduce a una ecuación que resulta difícil de resolver, pues aún, en el caso más sencillo, si L fuera de longitud 1, tendríamos que resolver:
a^3 + 3a(a + 1) = 1.

La forma más fácil es averiguando el porcentaje en el que se debe incrementar L para duplicar el volumen del cubo; es decir, buscando el valor de p, de tal manera que:
X^3 = (pL)^3 = 2(L^3).
Esto es equivalente a calcular un p tal que
p^3 = 2.
Entonces p es la raíz cúbica de 2; es decir 
p = 1,25992…
lo que significa que para duplicar el volumen de un cubo hay que incrementar en un 26% la longitud de sus aristas.

Como se puede ver en este ejemplo, las matemáticas no son siempre difíciles, sin embargo la mayoría de las veces escogemos o nos imponen un camino difícil. El olfato matemático está más desarrollado en algunas personas, pero debe estimularse continuamente dedicando unos minutos a las matemáticas cotidianas.