Gauss y el Teorema Fundamental del Álgebra

Siete minutos para las matemáticas

Sobre la vida del gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777-1855) se han divulgado muchas historias y anécdotas y nadie pone en duda que fue uno de los más grandes matemáticos de la historia, como lo fue Newton para la física.

Como han reconstruido muy bien los historiadores de la matemática. La genialidad de Gauss se descubrió desde muy temprana edad. El niño prodigio de Braunschweig, como se le llamaba, sorprendió a su maestro de escuela J. B. Büttner, a la edad de 9 años, cuando éste quiso entretener a la clase el tiempo necesario para hacer una diligencia, dejándoles como tarea calcular la suma de los números de 1 a 100; es decir, 1+2+3+…+100. El pequeño Gauss se dio cuenta inmediatamente de que escribiendo la suma en el orden contrario: 100+99+98+…+1 y sumando término a término, tenía 100 parejas de números con sumas iguales, a saber: (1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(100+1), es decir que si sumaba dos veces los números de 1 a 100, obtenía como resultado 100 veces 101; así que la respuesta de la tarea dejada por el maestro era simple: la mitad de 100x101, o sea 5.050. 

Antes de que Büttner abandonara el salón el niño levantó la mano para indicar que había terminado. El maestro, atónito, prefirió cancelar su diligencia y entender cómo Gauss había logrado descubrir por su propia cuenta las propiedades de una serie aritmética. En efecto, había descubierto sin ayuda alguna, que la suma de los números naturales hasta N es igual a N(N+1)/2. 

Gauss fue sumamente prolífico en todas las áreas de las matemáticas. Su aporte más importante fue la demostración del Teorema Fundamental del Álgebra, que establece que “todo polinomio con coeficientes complejos, de grado > 0, tiene al menos una raíz en los complejos”. Hay otra formas de enunciarle, por ejemplo, una muy importante que se deduce de la anterior es: “todo polinomio de grado N > 0, con coeficientes reales o complejos tiene exactamente N raíces reales o complejas”. Las raíces no tienen por qué ser diferentes. 

La historia de la demostración de este teorema tiene una larga lista de importantes matemáticos que lo intentaron antes de Gauss. Desde el año 800, con los esfuerzos iniciales para generalizar la existencia de raíces reales positivas, a cargo del matemático árabe al-Khwarizmi, lo intentaron también, para mencionar solo algunos, matemáticos muy destacados como Cardano en 1545, quien da luces para grupos de casos particulares de ecuaciones polinómicas; Bombelli quien en su libro de Álgebra publicado en 1572 da algunas reglas para manipular los números que posteriormente se llamarían complejos. Les siguen Descartes en 1637, D’Alambert en 1746 y Euler en 1749, quien intenta una demostración general para polinomios con coeficientes reales. En 1772 Lagrange plantea unas objeciones al trabajo de Euler y corrige algunos puntos débiles de la prueba. En 1795 Laplace trata de probar el teorema usando el discriminante de un polinomio.

A Gauss se le concede el crédito de la primera demostración completa, presentada en 1799 en su tesis doctoral a la edad de 22 años. En este trabajo explica también las objeciones a todas las pruebas anteriores. No obstante, en 1863 Weierstrass aborda el problema de encontrar una prueba constructiva del Teorema Fundamental del Álgebra y hacia 1891 publica una demostración de este tipo. El gusto por la demostración constructiva, lo retoma Hellmuth Kneser quien consigue otra prueba de este estilo en 1940. Y el último aporte importante en esa dirección lo logra justamente su hijo Marin Kneser en 1981, quien publica una simplificación de la demostración constructiva de su padre.

La importancia de este teorema se debe en parte a esa cantidad de mentes brillantes que se han ocupado de él, pero también a las múltiples aplicaciones que tiene dentro de las matemáticas y la validez que da a otros resultados que se sustentan o se derivan de él.

Para Gauss el teorema fundamental del álgebra fue una obsesión, lo retomó en muchas ocasiones y aportó en diferentes momentos de su vida nuevas demostraciones. Su cuarta demostración formó parte del último artículo que escribió en 1849, exactamente 50 años después de la contenida en su tesis doctoral. 

A pesar de la cantidad de aportes que hizo Gauss a las matemáticas, a la física, a la estadística, a la astronomía o a la economía, el Teorema Fundamental del Álgebra le desvelaba. Ésta es una característica presente en muchos científicos que nunca abandonan el primer gran reto que enfrentaron en su tesis doctoral y lo retoman frecuentemente.

Haber logrado Gauss no solo la primera, sino cuatro demostraciones distintas del Teorema Fundamental del Álgebra es una contundente exhibición de su indudable talento por el que se ha ganado el título universal de “Príncipe de las Matemáticas”.