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Para que las cuentas le cuadren.

Siete minutos para las matemáticas

Dentro de los problemas matemáticos clásicos que se divulgan internacionalmente como curiosos, hay uno con múltiples versiones que se transmite de generación en generación y se adapta para cada país. Su origen lo desconozco, pero el acertijo de la cuenta en el bar lo oí hace muchos años cuando un amigo español me lo planteó en una versión valenciana y con la cuenta del bar hecha con las desaparecidas pesetas españolas. Después lo oí en Alemania, pero la cuenta del bar era con los desaparecidos marcos alemanes y supe que también era conocido en Colombia, naturalmente haciendo la cuenta en pesos.

En mi versión, y debido a la inflación, este problema lo plantearé de la siguiente manera: tres compañeros, al salir de la universidad un viernes, deciden ir a tomar una cerveza a un bar cercano, de propiedad de un amigo de ellos. Para acompañar la cerveza, ordenan unas deliciosas empanadas con ají y después de disfrutar del rato piden la cuenta. 

El mesero les indica que son $30.000, incluyendo el servicio. Cada estudiante saca un billete de $10.000 para pagar la cuenta, pero al disponerse el mesero a entregar el dinero en la caja, el dueño del bar le indica que les devuelva $5.000, que él les invita a una ronda de empanadas por tratarse de sus amigos. El mesero, para no complicarse con monedas, decide devolver a cada joven $1.000 y guardarse para él los otros $2.000.

Cuando los estudiantes han salido del bar, el mesero mientras limpia la mesa se queda pensando en la cuenta que han pagado los jóvenes, sin comprender cómo es posible: cada uno de los tres pagó $9.000, que suman $27.000 y él se guardó $2.000, para un total de $29.000. ¿Dónde están los otros $1.000?

Puesto que el mesero no podía acudir al propietario para que le aclarara su duda porque quedaría en evidencia que él había tomado $2.000 sin autorización, decide guardar silencio, pero esa duda le atormenta como un castigo divino y no puede dejar de preguntarse por qué no le cuadra esa cuenta en la que faltan $1.000.

¿Puede usted, querido lector, ayudar al mesero a aclarar la cuenta en el bar? 


[la solución aparece al final del artículo].

Y de un corte parecido es el famoso problema (se dice que data del siglo XVI) del padre que al morir posee 17 caballos y ha dejado consignado en su testamento su deseo de repartir los caballos entre sus tres hijos dando al mayor la mitad, al segundo la tercera parte y al menor la novena parte del total de sus caballos.

Puesto que el número 17 es primo, no es divisible por 2, ni por 3, ni por 9 y tampoco es múltiplo común de 2, 3 y 9. Por otra parte (1/2 + 1/3 + 1/9) = 17/18, entonces el problema no tiene solución; es decir no es posible repartir 17 caballos enteros entre los tres herederos para satisfacer el deseo del padre. 

¿Si usted fuera el encargado de repartir la herencia de los 17 caballos, cómo lo haría?


[*la solución aparece al final del artículo].

Y antes de dar a conocer las soluciones, guardo la esperanza de que algunos lectores hayan intentado resolver los problemas. 


Solución de la cuenta en el bar: 

Este es un clásico problema en el que se confunde fácilmente a algunas personas con un planteamiento equivocado, aparentemente coherente, que induce al error. Obsérvese que la clave de la solución está en que los $2000 que toma el mesero no deben sumarse, sino restarse.
$27.000 - $2.000 = $25.000. Esa es la cantidad que se pagó finalmente al propietario. Naturalmente al sumar los $2.000, en lugar de restarlos, el número obtenido es $29.000 que es más cercano a $30.000, lo que lleva a creer que se trata de una aproximación de $30.000. 

Un problema similar es el del niño que pide prestado a su madre y a su padre $50.000 a cada uno para comprarse una patineta que cuesta $97.000. Como le devuelven $3.000 decide amortizar la deuda pagando a cada uno de sus padres $1.000 y se guarda los otros $1.000. Entonces debe $98.000 a sus padres y tiene en su poder $1.000 para un total de $99.000 ¿Dónde están los otros $1.000?


Solución al problema de la herencia de los 17 caballos:

Por fortuna el abogado encargado de distribuir la herencia había aprendido muy bien las matemáticas del colegio y lo resolvió de la siguiente manera:
Él observa que 18 es el mínimo común múltiplo de 2, 3 y 9. Consigue entonces un caballo prestado para completar 18 caballos. Luego cita a los tres hermanos, lee el testamento de su padre y con una gran seguridad reparte el nuevo lote de caballos así:

La mitad al mayor, o sea (18/2) = 9 caballos.
La tercera parte al segundo, es decir, (18/3) = 6 caballos.
La novena parte al menor, que es (18/9) = 2 caballos.

Repartida la herencia admiremos el ingenio del abogado: 
9 + 6 + 2 = 17 caballos. 
Así que sobra 1 caballo que fue el que consiguió prestado y puede ahora devolverlo.

¿No es divertido repartir herencias con un abogado así?

Colofón: esta solución ofrece una buena idea para ponerla en práctica en el Congreso a fin de dirimir controversias sobre el número de votos que se necesitan para obtener la mayoría. 

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