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¿En qué porcentaje se incrementa el costo de cada centímetro cuadrado de pizza si se elige la primera opción?

Siete minutos para las matemáticas

Hace unos días publiqué en mi cuenta de Twitter un trino destacando las propiedades matemáticas que uno puede “saborear” en una pizza. En efecto, no solo el paladar, también el humor y la curiosidad por el sabor matemático se pueden descubrir en la manera universal como se presentan y se consumen las pizzas. Veamos:

La pizza es redonda.
La pizza se empaca en cajas cuadrada.
La pizza se corta trazando diámetros.
La pizza se presenta partida en aparentes triángulos
La pizza se sirve en porciones que son sectores circulares.

Pero lo que resulta ser una curiosidad matemática, que más bien parecería como si se tratara del origen mismo de su nombre, distinto al que se conoce como derivado de “pitta” o “pastel”, es que si denominamos el radio de una pizza con la letra ‘z’ y con la letra ‘a’ denotamos su grosor, entonces el volumen de la pizza resulta ser, de acuerdo con la conocida fórmula para calcular el volumen de un cilindro:

V = (Pi) x (z^2) x a 
   = (Pi).(z.z).a
   = Pizza

Lo anterior, aun cuando se trata de una simple curiosidad, me ha hecho recordar la discusión que tuve hace algunos años con unos amigos en una pizzería, sobre cuál era la mejor opción que teníamos para pedir la pizza que queríamos comer.  

Para compartirles el problema imaginemos que dos parejas de amigos quieren comer pizza del mismo sabor y después de examinar la carta de la pizzería el grupo se inclina por las siguientes dos opciones (los datos son reales, tomados de la carta actual de una pizzería):
Pizza mediana de 30 cm. de diámetro, $ 25 900
Pizza grande de 46 cm. de diámetro, $ 43 900

Pizza
Pizza
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Los cuatro amigos discuten sobre cuál opción es mejor: si pedir dos pizzas medianas (una para cada pareja) o pedir una pizza grande y compartirla entre todos. El primer argumento que se expone y que suena convincente es que resulta mejor pedir las dos pizzas medianas, pues al fin de cuentas es una cantidad mayor de pizza, ya que si el diámetro de cada una es de 30 cm. entonces al ser (30 + 30) > 46, van a comer más que pidiendo la pizza grande para todos.

Pero pasemos a las matemáticas para despejar dudas: puesto que las dos pizzas son del mismo grosor, basta comparar sus áreas y no es necesaria la comparación de sus volúmenes para determinar la mejor opción en cuanto a cantidad. El área del círculo de la pizza mediana (de diámetro 30 cm.) es: 

A1 = (Pi) x (r^2) donde r es el radio (r = 15 cm.).

Por lo tanto,

A1 =  (3,14159265…) x (15^2) = (3,14159265…) x (225) = 706,86 cm^2. 

Es decir que las dos pizzas medianas tienen un área total igual a dos veces el área A1 calculada. Es decir: 1413,72 cm^2.

El área del círculo de la pizza grande (de diámetro 46 cm.) es: 

A2 = (Pi) x (R^2) donde R es su radio (R = 23 cm.).

Por lo tanto,

A2 =( 3,14159265…) x (23^2) = (3,14159265…) x (529) = 1661,90 cm^2.

La primera sorpresa es que, en efecto, el área de la pizza grande es mayor que la suma de las dos medianas. 

Ahora calculemos costos: las dos pizzas medianas cuestan (25 900) x 2 = $ 51 800. Y la pizza grande tiene un costo de $ 43 900. Así que no cabe duda de cuál es la mejor opción.

Pero calculemos ahora el precio por centímetro cuadrado en cada caso para tener una mejor comparación. Para no complicarnos con centavos, veamos cuál es el área de pizza que podemos obtener por cada $ 1000 del precio. 

En el primer caso, si compramos las dos pizzas medianas tenemos que:

(2 x A1)/(51,8) = (1413,72)/(51,8) = 27,29. 

Esto significa que si compramos dos pizzas medianas, entonces 27,29 centímetros cuadrados de pizza cuestan $ 1000. 

La otra opción, de la pizza grande, arroja el siguiente resultado:

(A2)/(43,9) = (1661,90)/(43,9) = 37,9.

Significa que si nos decidimos por la pizza grande podemos comprar 37,9 centímetros cuadrados de pizza con los mismos $ 1000.

Como se observa, la mejor opción indiscutiblemente es la pizza grande para los cuatro amigos, ya que no sólo comerán una mayor cantidad, sino también resulta más barata por centímetro cuadrado.

Espero que ahora pueda usted, querido lector, disfrutar de su pizza favorita y elegir la mejor opción demostrada.
Tarea: ¿en qué porcentaje se incrementa el costo de cada centímetro cuadrado de pizza si se elige la primera opción?

Fuente

RCN Radio

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