Los caprichosos números primos

La expresión latina Reductio ad absurdum, que significa 'reducción al absurdo', es una de las más poderosas y también una de las más usadas herramientas de las matemáticas para demostrar la validez de proposiciones.

Las demostraciones por reducción al absurdo, también denominadas demostraciones por contradicción, son las que se utilizan cuando se quiere demostrar que una proposición matemática es verdadera, probando que si no lo fuera conduciría a una contradicción.

No es necesario entrar en las especificidades de la lógica proposicional para conocer, a través de algunos históricos y famosos ejemplos, el uso de este método de demostración y deleitarse con su contundente sencillez, así como para familiarizarse con él y aplicarlo en situaciones cotidianas.
 
Una de las más bellas demostraciones por reducción al absurdo es la prueba que incluye Euclides en su gran obra titulada “Elementos”, escrita hace unos 2300 años, para demostrar que hay infinitos números primos. 

Para quienes lo han olvidado, recordemos que los números primos son los números enteros mayores que 1, que sólo son divisibles por 1 y por sí mismos; es decir: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …

La demostración contenida en el libro IX de la obra “Elementos”, último de los tres libros sobre Teoría de Números, además de su claridad, que sirve de ejemplo para explicar el tema que nos ocupa, es un resultado de una trascendencia incomparable, como puede mostrarse cada vez que se habla de números primos.

La prueba de Euclides es la siguiente: 

Supongamos lo contrario, es decir asumamos que hay un número finito de primos. En ese caso hay un número primo que es el mayor de todos ellos, digamos que éste es el número que llamaremos p.

Ahora debemos buscar una contradicción debida a la suposición de que p es el más grande de los primos. 

Vamos a construir entonces otro número q de la siguiente manera:

q := (2⋅3⋅5⋅7⋅11 … ⋅p) + 1

es decir un número que es el producto de todos los números primos hasta el último, que es p, más el número 1.

Evidentemente el número q no es divisible por ninguno de los números primos menores o iguales que p, pues siempre habrá un residuo de la división igual a 1 y no igual a cero. 

Hago aquí un paréntesis para explicar esto último con toda claridad: si tomamos por ejemplo el número:

m := (2⋅3⋅5) + 1 = 31 

al dividirlo entre 2 se obtiene como resultado 15 y sobra 1. Si se divide entre 3 el resultado es 10 y sobra 1, y si se divide entre 5 se obtiene 6 y sobra 1. 

Así que, retomando el hilo de nuestra prueba, es claro que la división de q entre cualquier número primo menor o igual que p no es exacta y siempre va a sobrar 1 como residuo. Esto significa que q no es divisible por algún primo conocido (porque hemos supuesto que sólo hay un número finito de ellos y ya probamos con todos) entonces q sólo es divisible por 1 y por sí mismo. Y tal vez no sobre aclarar que q tampoco puede ser divisible por un número que no sea primo, ya que todos los enteros mayores que 1, cuando no son primos, son el producto de primos, como bien lo afirma el llamado Teorema Fundamental de la Aritmética, también demostrado por Euclides.

Lo anterior quiere decir, precisamente, que q es también un número primo. Pero evidentemente q > p, entonces el número p no puede ser el mayor número primo, como lo hemos supuesto desde el comienzo y esto es una contradicción.

Así que no podemos suponer que hay un número primo que sea mayor que todos los demás, por lo tanto el conjunto de todos los números primos es infinito, como lo queríamos demostrar.

Esta sencilla y elegante demostración es, con todo rigor, una demostración matemática por reducción al absurdo. A partir de esta demostración, la afirmación ya demostrada deja de ser una conjetura para convertirse en un Teorema.

Saber que hay infinitos números primos planteó una serie de inquietudes que han ocupado a un grupo importante de matemáticos en todas las épocas. Uno de los primeros retos, al no existir una fórmula general para encontrar todos los números primos, debido a que su distribución es sumamente caprichosa, fue construir un algoritmo que permita hallar los primos que sean menores que un número n entero dado. Este problema fue resuelto por Eratóstenes de Cirene, contemporáneo de Euclides, el mismo griego que midió por primera vez el radio de la tierra. 

En efecto, Eratóstenes creó una ingeniosa criba que consiste en un tablero en el que se escriben los números enteros comprendidos entre 2 y n, luego se procede a tachar todos los múltiples de 2. Cuando hemos terminado volvemos al inicio y declaramos primo al primer número que encontremos que no ha sido tachado y procedemos a tachar todos sus múltiplos. Repitiendo este proceso sucesivamente logramos determinar todos los primos menores o iguales a n. Pero no hay que realizar el procedimiento hasta llegar a n, basta examinar si el siguiente número confirmado como primo, elevado al cuadrado, es mayor que n. Si esto ocurre ya no habrá más primos menores que n. Esto último es porque se puede demostrar que para saber si un número es primo, basta con examinar si alguno de los primos menores o iguales a la raíz cuadrada del número es uno de sus divisores.  

La criba de Eratóstenes es un bonito juego para entretenerse; quienes tienen niños pequeños lo pueden jugar en familia para que los pequeños se familiaricen con estos importantes objetos matemáticos. Pueden hacer la criba para n = 200, por ejemplo con 10 columnas y 20 filas.