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Los juegos de la infancia que explican las matemáticas.

Siete minutos para las matemáticas

Seguramente algunos de los lectores conocieron de niños un truco que se hace con números, trazando en una hoja un círculo y escribiendo en su borde interior, en forma equidistante, los dígitos 1, 4, 2, 8, 5 y 7, en ese orden y en el mismo sentido de las agujas del reloj (como si se tratara del tablero de un reloj). Después se le pide a un compañero lanzar un dado y multiplicar el número obtenido por el número 142857 que aparece en la hoja y escribir el resultado en un papel sin que pueda ser visto por alguien más. Luego procedemos a adivinarlo mágicamente; así por ejemplo, si sacó 4 con el dado, le decimos en forma inmediata que el resultado es: 571428. Incrédulo el compañero compara con el resultado que solo él conoce y certifica que es correcto. ¿Magia? No, es el mismo número escrito en la forma circular, basta mover la hoja para empezar con el dígito 5 en lugar de hacerlo con el dígito 1, como lo muestra la figura.

Los número ciclicos
Los número ciclicos
Imagen tomada de: “Lo fascinante de la teoría de números”, ZetaSelberg, 2013

También recordarán algunos de ustedes el juego en el que se le decía a un compañero “piensa un número entre 1 y el año en que estamos” (para actualizarlo diríamos que hasta 2019), ahora divídelo entre 7 y si el resultado es exacto escoge otro número (por ejemplo 1974 no me sirve). Después procedíamos a actuar como magos: “como el resultado tiene infinitos decimales, tienes que conformarte con saber algo que acabo de adivinar: la suma de las primeras 6 cifras decimales es igual a 27. En efecto, como podrán comprobarlo, el resultado es un número decimal periódico, cuyo período tiene seis dígitos que son alguna permutación de 1, 4, 2, 8, 5 y 7 cuya suma es exactamente 27.

Los ejemplos anteriores, para citar apenas dos, son en realidad el resultado de la misma propiedad, la que tienen los números llamados cíclicos o fónicos. Un número entero positivo, de K-1 dígitos, se llama cíclico si al multiplicarlo por cualquier entero entre 1 y K-1 el número resultante es una permutación del número original, que conserva la secuencia de sus dígitos en forma cíclica. Esto quiere decir que el resultado es un número que se compone de los mismos dígitos en otro orden, pero sin alterar la posición relativa de cada uno; es decir que si aceptamos que el siguiente del último dígito es el primero, ningún dígito cambia de vecinos aunque cambie de posición.

En los dos ejemplos iniciales estamos usando esa característica que tiene un número cíclico conocido. En efecto, obsérvese que:
142857 x 1 = 142857
142857 x 2 = 285714
142857 x 3 = 428571
142857 x 4 = 571428
142857 x 5 = 714285
142857 x 6 = 857142

Ahora bien, este número cíclico lo genera el número 7 porque el resultado de dividir el número 1 entre 7 es el decimal periódico, de periodo 142857. En efecto:
1/7 = 0,142857142857142857… 

Es ésta la razón por la que al multiplicar 7 por el número 142857 se obtiene como resultado 999999. Los especialistas y estudiosos de la teoría de números que se ocupan de investigar sobre las propiedades de los números decimales periódicos generalizan esta curiosidad en un Teorema conocido como Teorema de Midy, en honor al matemático francés que lo demostró.

En realidad, siempre que al dividir el número 1 entre un número primo P, se obtenga como resultado un decimal periódico con un periodo de P-1 dígitos, ese periodo es un número cíclico. El número 7 es el primer número primo que cumple esa condición; es decir, los números primos 2, 3 y 5 no generan números cíclicos y el primero es entonces el número de 6 dígitos: 142857 que usamos para los trucos iniciales.

El siguiente número cíclico lo genera el número primo 17 y es de 16 cifras: 5882352941176470. ¡Imaginen ustedes los geniales trucos mágicos que podríamos inventar con ese número!
Los únicos números primos menores que 100, que generan números cíclicos son: 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61 y 97.

En el siglo XIX el matemático William Shanks descubrió un número cíclico de 17388 dígitos que genera el número primo 17389. El gusto de este matemático inglés por esos cálculos trascendió cuando en 1873 determinó 707 cifras decimales del número Pi; no obstante, en 1944, empleando una calculadora mecánica, se detectó un error y solo se pudieron certificar los primeros 527 dígitos calculados por Shanks.

Los números cíclicos, como tantos otros objetos matemáticos, generan una serie de retos adicionales que obligan un estudio formal. La respuesta a preguntas naturales como ¿es infinito el conjunto de los números cíclicos? requiere trabajo adicional que escapa a este espacio de divulgación. No obstante, como es mi costumbre dejar tareas, ojalá usted, querido lector, acepte el desafío de encontrar una aplicación de lo aprendido sobre números cíclicos. 

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