Pistas insospechadas al resolver problemas matemáticos
¿Sabe cuál es el número que buscamos?
Siete minutos para las matemáticas
Un conocido problema de matemáticas que siempre viene a mi memoria como uno de los mejores y más bonitos ejemplos de razonamiento lógico elemental, fue planteado en 1981, en la Primera Olimpiada Colombiana de Matemáticas, organizada por la profesora María Falk de Losada.
Por aquella época, siendo yo monitor o “entrenador” de los jóvenes participantes, conocí ese problema que recordé hace pocos días cuando me lo consultaron.
El problema tiene múltiples versiones equivalentes y frecuentemente se suele presentar como un reto con escasa información, que además parece contener pistas desconcertantes. Desconozco su origen, pero se parece a esos proverbios anónimos universales siempre vigentes que se transmiten de generación en generación y se adaptan en forma libre en todo el mundo.
Una versión del problema es la siguiente:
Desde cuando se graduaron en el colegio hace 25 años, dos compañeros a quienes unió una gran amistad, dejan de verse y pierden todo contacto. Pero de visita uno de ellos en una ciudad extranjera, donde sabe que se ha establecido su compañero, surge el interés de visitarlo, así que finalmente logra contactarlo y acuerdan un encuentro.
A pesar del tiempo transcurrido fue fácil reconocerse en la estación principal, donde el residente en la ciudad recoge a su compañero para llevarlo hasta su casa. Después de revivir algunas anécdotas, el visitante le dice al anfitrión: “Bueno ¿y qué ha sido de tu vida?, ¿tienes hijos?” Y él le responde: sí, tengo tres hijas.
Al indagar por las edades de las hijas de su compañero, éste contesta: “Mira qué curioso: el producto de sus edades es 36 y la suma de sus edades es justamente el número de la puerta de esta casa”.
El visitante, que ya había recuperado la confianza y la camaradería, se levanta de su silla y le dice: “Así que, como en el colegio, ¿quieres poner a prueba mi habilidad matemática? Pues verás que no la he perdido, acepto el reto de descubrir las edades de tus hijas”.
Luego el visitante se dirige hasta la calle, se para en el andén frente a la puerta de la casa, anota el número que está en la puerta, regresa y le dice a su amigo: “Me falta un dato para poder decirte las edades de tus hijas”.
El anfitrión piensa un momento y le dice a su invitado: “Claro, tienes razón, olvidé decirte que la mayor toca piano”.
Con esa información inmediatamente su compañero, sin equivocarse, le dice cuáles son las edades de sus tres hijas.
La pregunta para nosotros ahora, no es solamente cuáles son las edades, también debemos indicar cuál es el número de la puerta.
Veamos cómo, usando una lógica elemental, podemos despejar estas incógnitas:
Si el producto de las edades es 36, entonces solo tenemos las siguientes posibilidades, que corresponden a las triplas de números enteros cuyo producto es 36:
1, 1, 36
1, 2, 18
1, 3, 12
1, 4, 9
1, 6, 6
2, 2, 9
2, 3, 6
3, 3, 4
Ahora bien, es obvio que esta cuenta fue la que hizo el visitante, así que el número de la casa que él anotó solo puede ser alguno de los correspondientes a la suma de las triplas anteriores. Es decir alguno de los que aparecen a la derecha en la lista siguiente:
1 + 1 + 36 = 38
1 + 2 + 18 = 21
1 + 3 + 12 = 16
1 + 4 + 9 = 14
1 + 6 + 6 = 13
2 + 2 + 9 = 13
2 + 3 + 6 = 11
3 + 3 + 4 = 10
Si el número de la casa está en esa lista y el visitante regresa a pedir más información es porque es 13 el número, ya que si revisamos estos números se observa que únicamente el 13 se repite, razón por la cual el visitante no podía decidir. En caso contrario hubiese podido decir con certeza cuáles eran las edades; así, por ejemplo, si el número hubiese sido 11, habría respondido que las edades eran entonces 2, 3 y 6, ya que no hay más opciones.
Es entonces lógico que cuando el visitante le dice al anfitrión que le falta un dato, es porque no puede saber cuál de las dos triplas que suman 13 es la tripla correcta para poder determinar si las edades de las hijas son 1, 6 y 6 o si sus hijas tienen 2, 2 y 9 años respectivamente.
Ante la respuesta: “Claro, olvidé decirte que la mayor toca piano”, el visitante pudo descartar una de las triplas cuya suma es 13, pues le estaba informando que hay una mayor; así que desecha la tripla (1, 6, 6) ya que, si fuese ésta la respuesta, el anfitrión habría dicho “… una de las mayores”.
Por lo tanto, la única tripla que cumple con todas las pistas es (2, 2, 9) y la respuesta correcta sobre las edades de las hijas es: El anfitrión tiene dos niñas de la misma edad, 2 años (podrían ser gemelas) y una mayor de 9 años, que además toca piano. El número de la puerta es, como ya vimos, el número 13.
Este simpático problema lo hemos resuelto usando cuidadosamente la información disponible. No se necesitan conocimientos avanzados de aritmética o lógica. Espero haberles entretenido siete minutos.
