Cargando contenido

Desde los griegos se planteó el reto de resolver el problema de cuadrar un círculo.

Siete minutos para las matemáticas

Se ha vuelto costumbre entre nuestros comunicadores hablar de crecimiento exponencial para indicar que hubo un aumento mayor de lo esperado; a veces comparando solo un par de datos ya lo concluyen sin  preocuparse siquiera por saber qué significa eso y sin ser conscientes del error, que de tanto repetirse ha terminado por incorporarse al lenguaje cotidiano.

En una forma similar, aunque menos común y no usada tan erróneamente se oye hablar frecuentemente de la cuadratura del círculo para indicar que algo no se puede lograr; la propia Real Academia Española - RAE ha incorporado en el diccionario este uso frecuente con el siguiente significado: ‘U. para indicar la imposibilidad de algo’.

Pero veamos cuál es el origen de la expresión y su verdadero significado en matemáticas. 

Desde los griegos se planteó el reto de resolver el problema de cuadrar un círculo; es decir, de encontrar un cuadrado que tenga la misma área de un círculo dado, pero utilizando únicamente una regla y un compás y respetando las normas de construcción de la Geometría Euclidiana con estos instrumentos. 

Con el tiempo se borró la segunda parte del problema “… con regla y compás”, y se acortó el enunciado que se popularizó como el reto de la cuadratura del círculo, mal entendido como la tarea imposible de encontrar un cuadrado que tenga la misma área de un círculo dado; lo cual, así no más, no solo sí es posible sino que además no tiene gracia, pues no tiene mayor dificultad.

Recordemos que cuando los griegos se referían a una regla, ésta no era lo que comúnmente nos imaginamos. La regla de los griegos se considera libre de escalas o marcas; es decir, no sirve para medir en unidades de longitud por ejemplo y tampoco tiene dos bordes, de tal manera que no podemos dibujar con ella dos paralelas directamente; además tiene longitud infinita. Así que una regla solo nos sirve para unir dos puntos ya construidos a través de un segmento o para prolongar un segmento de recta ya trazado.

El compás de los griegos también es muy particular, solamente sirve para trazar circunferencias o arcos de circunferencias cuyo centro sea un punto dado y cuyo radio sea el segmento entre el centro y otro punto ya construido. El compás se cierra cuando hemos hecho el trazo, es decir que después de usado olvida la distancia que tenía entre sus puntas. “No tiene memoria”. 

Pero contrario a lo que podría uno creer, sobre estas condiciones restrictivas para la regla y el compás, se pueden hacer muchas construcciones con esos dos instrumentos. 

Veamos un bonito ejemplo: ¿cómo trazar una paralela a una recta dada? 

Para esta construcción nos dan un punto P0 exterior a la recta por el que deberá pasar la recta paralela que se quiere construir. Con el compás y con una abertura cualquiera se traza un arco con centro en P0 que corte la recta dada. Ese punto de corte lo llamamos P1. Desde este nuevo punto como centro y con una abertura hasta P0 se traza otro arco que tendrá que pasar entonces por el punto P0 y deberá también cortar la recta en un punto que llamamos P2. Con una abertura del compás igual a la distancia entre los puntos P2 y P0, tomando como centro P1 se corta el primer arco trazado para obtener el punto P3. Uniendo los puntos P0 y P3 con la regla se consigue la recta paralela buscada.

Pero volviendo a la expresión, hay que tener en cuenta que el problema de buscar, sin regla y compás, el cuadrado que tenga la misma área de un círculo dado ha despertado el interés de proponer diferentes métodos de solución con otras herramientas y se pueden encontrar ingeniosas construcciones geométricas que prescinden de la manera más directa y simple.

Naturalmente, si un círculo tiene radio R, entonces su área es: 
A = (Pi)(R^2),
por lo tanto basta elegir el lado del cuadrado con una longitud igual a la raíz cuadrada de Pi (= sqrt(Pi)) multiplicado por R. En efecto: si 
L = (sqrt(Pi))xR, 
entonces el área del cuadrado de lado L coincide con el área A del círculo de radio R.

El problema de la cuadratura del círculo con regla y compás atrajo a muchos matematicas durante siglos. Pero en 1882 el matemático alemán Ferdinand Lindemann demostró que el problema no tiene solución. Lindemann concluye, como corolario, que es imposible cuadrar un círculo con regla y compás porque el número Pi es un número trascendente (al igual que su raíz cuadrada), lo cual quiere decir que Pi no puede ser raíz de ningún polinomio (no nulo) con coeficientes enteros; es decir que Pi no es un número algebraico, por lo tanto no cumple la condición necesaria para poder llevar a cabo construcciones de puntos con regla y compás.

La generalización de la expresión “… eso es como resolver la cuadratura del círculo”, incorporada a nuestro lenguaje para indicar la imposibilidad de algo, debió empezar entonces a partir de la prueba de 1882 que se convirtió en una muy importante noticia en el mundo matemático.

Justamente esta semana oí decir que “acabar con la polarización en Colombia es como resolver la cuadratura del círculo”.

Encuentre más contenidos

Fin del contenido